Một cách chính thức, nếu V {\displaystyle V} và W {\displaystyle W} là các không gian vectơ trên cùng một trường K {\displaystyle K} , chúng ta nói rằng ánh xạ f : V → W {\displaystyle \mathbf {f} :V\rightarrow W} là một (phép) biến đổi tuyến tính nếu cho bất kỳ hai vectơ u , v ∈ V {\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V} và bất kỳ vô hướng c ∈ K {\displaystyle c\in K} , chúng ta có

f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v ) {\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}	tính cộng / phép toán cộng
f ( c u ) = c f ( u ) {\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}	tính thuần nhất bậc 1 / phép toán nhân vô hướng

Điều này có ý nghĩa tương đương với khẳng định f {\displaystyle \mathbf {f} } "bảo toàn tổ hợp tuyến tính", có nghĩa là không quan trọng là ánh xạ được áp dụng trước (vế phải ở các đẳng thức trên) hay sau (vế trái) khi thực hiện các phép toán cộng và nhân vô hướng.

Cho bất kỳ các vectơ u 1 , … , u n ∈ V {\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V} và các vô hướng c 1 , … , c n ∈ K , {\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K,} bởi tính kết hợp của phép cộng chúng ta có[4][5]

f ( c 1 u 1 + ⋯ + c m u m ) = c 1 f ( u 1 ) + ⋯ + c m f ( u m ) . {\displaystyle \mathbf {f} (c_{1}u_{1}+\cdots +c_{m}u_{m})=c_{1}\mathbf {f} (u_{1})+\cdots +c_{m}\mathbf {f} (u_{m}).}

Ký hiệu các phần tử không của các không gian vectơ V {\displaystyle V} và W {\displaystyle W} tương ứng là 0 V {\textstyle \mathbf {0} _{V}} và 0 W {\textstyle \mathbf {0} _{W}} , ta suy ra f ( 0 V ) = 0 W . {\textstyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}.}

Cho c = 0 {\displaystyle c=0} và v ∈ V {\textstyle \mathbf {v} \in V} trong phương trình của tính thuần nhất bậc 1:

f ( 0 V ) = f ( 0 v ) = 0 f ( v ) = 0 W . {\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}

Thông thường, V {\displaystyle V} và W {\displaystyle W} có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa "tuyến tính". Nếu V {\displaystyle V} và W {\displaystyle W} là các không gian trên trường K {\displaystyle K} như xác định ở trên, chúng ta nói về K {\displaystyle K} -ánh xạ tuyến tính. Ví dụ, phép lấy liên hợp của một số phức là một R {\displaystyle \mathbb {R} } -ánh xạ tuyến tính C → C {\displaystyle \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } , nhưng nó không phải là C {\displaystyle \mathbb {C} } -tuyến tính, trong đó các trường R {\displaystyle \mathbb {R} } và C {\displaystyle \mathbb {C} } tương ứng là các trường số thực và số phức.

Một ánh xạ tuyến tính V → K {\displaystyle V\rightarrow K} với trường K {\displaystyle K} được xem như là một không gian vectơ 1 chiều trên chính nó được gọi là một phiếm hàm tuyến tính.[6]

Các mệnh đề trên đây có thể được tổng quát hóa đối với một mô đun trái bất kỳ R M {\textstyle {}_{R}M} trên một vành R {\displaystyle R} mà không cần sửa lại, và đối với một mô đun phải bất kỳ nhưng phải đổi thứ tự của phép nhân vô hướng.